(a(m,n))m,n∈Nは0以上の実数の列とします。 N×Nは可算集合だから、一列に(b(k))k∈Nと並び替えられます。 各mに対しΣ[n=0,∞] a(m,n)は収束し、 Σ[m=0,∞](Σ[n=0,∞] a(m,n))は収束するとします。 このときΣ[k=0,∞] bkは収束し Σ[k=0,∞] b(k)=Σ[m=0,∞](Σ[n=0,∞] a(m,n)) となる事の証明を考えました。合ってますか？ f:N→N×Nは全単射で、 b(k)=a(f(k))(k∈N) とします。 ①Σ[k=0,∞] b(k)≦Σ[m=0,∞](Σ[n=0,∞] a(m,n))となる事: p∈Nを任意に取ります。 f(0)=(m0,n0),f(1)=(m1,n1),…,f(p)=(mp,np) と表記し、 n'=Max{n0,n1,…,np} m'=Max{m0,m1,…,mp} とします。 Σ[k=0,p]b(k)≦Σ[m=0,m']Σ[n=0,n']a(m,n) ≦Σ[m=0,∞]Σ[n=0,∞]a(m,n) (Σ[k=0,p]b(k))k∈Nは単調増加列で上に有界だから上限に収束します。 よって、 Σ[k=0,∞] b(k)≦Σ[m=0,∞](Σ[n=0,∞] a(m,n)) です。 ②Σ[m=0,∞](Σ[n=0,∞] a(m,n))≦Σ[k=0,∞] b(k)となる事: m",n"∈Nを任意に取ります。 k'=Max{f^(-1)(i,j) | 0≦i≦m"、0≦j≦n"} とすると、 Σ[m=0,m"]Σ[n=0,n"]a(m,n) ≦Σ[k=0,k']b(k)≦Σ[k=0,∞]b(k)・・・＊ ここで、m"を固定して数列( Σ[m=0,m"]Σ[n=0,n"]a(m,n) )n"∈N と見れば単調増加列で＊より上に有界。ゆえに上限に収束しその極限は Σ[m=0,m"]Σ[n=0,∞]a(m,n) です。 ＊の関係性より、Σ[k=0,∞]b(k)はこの数列の上界であり、上限の定義から Σ[m=0,m"]Σ[n=0,∞]a(m,n) ≦Σ[k=0,∞]b(k) m"の取り方は任意だから、同様に Σ[m=0,∞](Σ[n=0,∞] a(m,n))≦Σ[k=0,∞] b(k) です。 ①、②より、 Σ[k=0,∞] b(k)=Σ[m=0,∞](Σ[n=0,∞] a(m,n)) です。
