Elliptische Modulform

Bei der sog. j-Funktion – hier im kolorierten Schaubild – handelt es sich um eine Modulfunktion. Ihre außerordentliche Symmetrie zeichnet sich durch eine unendliche Anzahl von Funktionalgleichungen (darunter 1-Periodizität und $j(-{\tfrac {1}{z}})=j(z)$) bei gleichzeitiger komplexer Differenzierbarkeit aus.

Elliptische Modulformen umfassen in der Mathematik eine bestimmte Gattung von Funktionen, die eine überaus starke Form der Symmetrie besitzen, und aufgrund ihrer sehr breiten Anwendungsmöglichkeiten wie zum Beispiel in Zahlentheorie, Topologie, Darstellungstheorie, Gruppentheorie, Geometrie, Kombinatorik, Stringtheorie, Differentialgleichungen und Knotentheorie zu den bedeutendsten Objekten innerhalb der modernen Mathematik gehören. Das Wort „elliptisch“ bedeutet in diesem Kontext, dass die betreffenden Modulformen auf Modulräumen elliptischer Kurven definiert sind. Hierbei ist „Modul“ ein altmodisches Wort für „Parameter, der für ein geometrisches Objekt steht“. In der Literatur wird jedoch dieser Zusatz häufig weggelassen, wenn aus dem Kontext ersichtlich ist, um welchen Typ Modulform es sich handelt.

Elliptische Modulformen – und ihre Verallgemeinerungen – werden als Kandidaten für eine Zusammenführung einiger Teilbereiche der Mathematik und theoretischen Physik gesehen, weshalb in der Literatur gelegentlich von „web of modularity“ (deutsch: „Netz der Modularität“) und „modular forms are everywhere“ (deutsch: „Modulformen sind überall“) gesprochen wird. Damit ist gemeint, dass sie Brücken zwischen mathematischen aber auch physikalischen Theorien bauen, die längere Zeit als verschieden angesehen wurden und teils eine völlig unterschiedliche mathematische Historie und Tradition haben. In manchen Fällen sind solche Zusammenhänge in der Vergangenheit schon gezeigt worden, in anderen Fällen, besonders im Umfeld der Zahlentheorie und Darstellungstheorie, werden sie im Rahmen des Langlands-Programms bis heute nur vermutet. Sehr kurz beschreiben lassen sich diese Zusammenhänge durch ein „gemeinsames Vorhandensein von Symmetrie“. Vereinheitlichende mathematische Theorien sind von besonderem Interesse, weil sie die verborgene „Architektur der Mathematik“ sichtbar machen und durch diese Einsichten neue Anwendungsfelder eröffnen. In etwa eröffnet sich die Möglichkeit, Probleme einer Theorie äquivalent in eine andere Theorie zu übertragen, und gegebenenfalls mit den dort vorhandenen Methoden zu lösen. Auch in der theoretischen Physik gelten Modulformen als Bestandteil innerhalb mathematischer Theorien, die tiefere Strukturen hinter dem Aufbau des Universums erklären könnten – etwa im Umfeld der Stringtheorie – ähnlich wie die Riemannsche Geometrie aus der Mathematik die Grundlage für Albert Einsteins Relativitätstheorie bildete, die sich später experimentell bestätigen ließ.

Die Theorie der elliptischen Modulformen ist enorm umfangreich und bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Zwei der sieben Millennium-Probleme der Mathematik – die Riemannsche Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer – treffen Aussagen über Objekte – sog. L-Funktionen –, die unmittelbar mit elliptischen Modulformen verknüpft sind. Etwa besagt die Riemannsche Vermutung, dass sämtliche nichttriviale Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf einer gemeinsamen Geraden liegen – und damit die Primzahlen ein „möglichst zufälliges“ Verteilungsmuster aufweisen. Diese Gerade ist eine Spiegelungsgerade für die Werte der Zetafunktion – und diese Symmetrie rührt von einer Modulform her, die mit der Zetafunktion assoziiert ist.

Um das Konzept einer elliptischen Modulform zu verstehen, kann es helfen, die trigonometrischen Funktionen, wie Sinus und Kosinus, als eine „Vorstufe“ zu sehen. Hier äußert sich die Symmetrie durch deren Periodizität und dem Spiegelungsverhalten an den Achsen bei gleichzeitiger Holomorphie (wenn auf komplexe Zahlen fortgesetzt). Im Falle der Modulformen kommen jedoch neben der Periodizität noch eine unendliche Anzahl weiterer Funktionalgleichungen hinzu, was ihnen erheblich mehr Struktur verleiht. Im einfachsten Falle spricht man bei einer holomorphen Funktion

$f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C}$ (als Funktion auf der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ der komplexen Zahlen)

von einer ganzen, elliptischen Modulform des Gewichts $k\in \mathbb {Z}$ zur vollen Modulgruppe, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1. Funktionalgleichungen: $(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$ für alle ganzen Zahlen $a,b,c,d$ mit $ad-bc=1$ und alle $z\in \mathbb {H}$,
2. Wachstumsbedingung: $\lim _{\mathrm {Im} (z)\to \infty }f(z)$ existiert (mit dem Imaginärteil $\mathrm {Im} (z)$).

Durch die Wahl $a=b=d=1$ und $c=0$ ergibt sich

$f(z+1)=f(z)$,

weshalb jede Modulform eine periodische Funktion ist. Als solche kann sie, wegen ihrer Holomorphie, in eine Fourier-Reihe entwickelt werden:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(f)e^{2\pi inz}$,

wobei die Wachstumsbedingung äquivalent zu $a_{n}(f)=0$ für alle $n<0$ ist. Die Fourier-Koeffizienten tragen oft wichtige, zahlentheoretische Informationen. Zu den einfachsten Beispielen von Modulformen gehören die Eisensteinreihen.

Etwas allgemeiner handelt es sich bei elliptischen Modulformen um auf der oberen Halbebene meromorphe Funktionen, die oberes Transformationsverhalten bezüglich ihrer Funktionswerte respektieren, und am Rand ihres Definitionsbereichs kein zu starkes Wachstum besitzen. Wichtiger Spezialfall ist der Begriff der Modulfunktion, der zum Gewicht $k=0$ korrespondiert und damit zusätzlich eine Form der absoluten Invarianz fordert, was eine höhere Anforderung als denen einer Modulform darstellt.

Die Entdeckungsgeschichte der Modulformen lässt bis in die Anfänge des 19. Jahrhunderts zurückverfolgen, wo sie besonders mit Namen wie Carl Friedrich Gauß, Gotthold Eisenstein und Carl Gustav Jacobi assoziiert sind. Umfangreiche Forschungsprogramme ab dem 20. Jahrhundert haben jedoch zu sehr weitreichenden Verallgemeinerungen von „klassischen Modulformen“ geführt, und den Begriff der automorphen Formen geprägt, die in der modernen Mathematik primär als Objekte der Darstellungstheorie gesehen werden.

Neben den elliptischen Modulformen wurden viele weitere Arten von Modulformen gefunden, zum Beispiel Jacobiformen, Siegelsche Modulformen, Hilbertsche Modulformen sowie p-adische Modulformen.

Dieser Artikel geht hinsichtlich der mathematischen Details primär auf die Standardsituation der vollen Modulgruppe ein, beleuchtet die Bedeutung der elliptischen Modulformen jedoch im Kontext sämtlicher Kongruenzuntergruppen. Für die mathematischen Details dieser Verallgemeinerung wird auf den Artikel Elliptische Modulformen zu Kongruenzuntergruppen verwiesen.

Notation

Es werden die folgenden üblichen Notationen verwendet:

• $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ für die natürlichen Zahlen.
• $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$ für die ganzen Zahlen.
• $\mathbb {Q}$ für die rationalen Zahlen.
• $\mathbb {R}$ für die reellen Zahlen.
• $\mathbb {C}$ für die komplexen Zahlen. Es bezeichnen $\mathrm {Re} (z)$ und $\mathrm {Im} (z)$ den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl $z$.
• $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C$ :\mathrm {Im} (z)>0\}} für die obere Halbebene.
• $\sum$ und $\prod$ bezeichnen das übliche Summenzeichen bzw. Produktzeichen.
• $q=e^{2\pi iz}$ ist die Standardnotation in der Theorie der Modulformen für die Exponentialvariable.
• $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\;ad-bc=1\}$ ist die spezielle lineare Gruppe vom Rang 2 über den ganzen Zahlen.
• $\Gamma _{\infty }=\{\pm {\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \}$ ist die von Translationen erzeugte Untergruppe von $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$.
• Es bedeutet $x\in M$, dass $x$ ein Element der Menge $M$ ist, und $x\notin M$ dass es kein Element der Menge $M$ ist. Zum Beispiel ist $-{\tfrac {1}{3}}\in \mathbb {Q}$ und $-{\tfrac {1}{3}}\notin \mathbb {Z}$.
• Es bezeichnet $e^{x}$ die natürliche Exponentialfunktion und $\log(x)$ den natürlichen Logarithmus.
• Es bezeichnet $\pi$ die Kreiszahl.
• Es bezeichnet $k!$ die Fakultät von $k$, und $\Gamma (s)$ die Gammafunktion, die Fakultäten auf komplexe Zahlen erweitert.
• Es bedeutet $p\mid N$, dass $p$ die Zahl $N$ teilt, zum Beispiel $2\mid 4$. Ist das Symbol durchgestrichen, liegt keine Teilbarkeit vor, etwa $2\nmid 5$.

Grundbegriffe und Hinführung

Komplexe Zahlen und die obere Halbebene

→ Hauptartikel: Komplexe Zahl

Die komplexen Zahlen spannen eine Ebene auf. Dabei existiert die „reelle Richtung“ (Achsenbeschriftung: Re) und die „imaginäre Richtung“ (Achsenbeschriftung: Im).

Illustration der oberen Halbebene.

Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sogenannter imaginärer Zahlen. Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung $x^{2}+1=0$. Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^{2}=-1$ hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden.

Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl $z$ ist von der Form $z=x+iy$ mit reellen Zahlen $x$ und $y$. Geht man $x$ Schritte in „reelle Richtung“ und $y$ Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl $x+iy$ mit dem Punkt $(x,y)$ in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird $x$ als Realteil und $y$ als Imaginärteil von $z$ bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel $i^{2}=-1$ vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel $(-3+2i)+(4+10i)=1+12i$, und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$

Dabei entsteht der Term $-bd$ beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt $bidi$. Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:

${\frac {1+i}{1-2i}}={\frac {(1+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}={\frac {-1+3i}{5}}=-{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}i.$

Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$, genau wie die reellen Zahlen $\mathbb {R}$, einen Körper bilden.

Besonders wichtig in der Theorie der Modulformen ist die obere Halbebene der komplexen Zahlen. Dabei handelt es sich um jene komplexe Zahlen, deren Imaginärteil positiv ist. Abgekürzt wird dies in der Literatur häufig mit $\mathbb {H}$ (aber auch ${\mathfrak {H}}$ und ${\mathfrak {h}}$ sind gängige Notationen). In Formeln schreibt man

$\mathbb {H$ :=\{z\in \mathbb {C} \,\,\colon \,\,\mathrm {Im} (z)>0\}.}

Beispielsweise ist $1+i\in \mathbb {H}$, aber $2-3i\notin \mathbb {H}$. Die obere Halbebene ist der Definitionsbereich von Modulformen als Funktionen.

Komplexe Funktionen

→ Hauptartikel: Komplexe Funktion

Eine mathematische Funktion stellt ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen $M$ und $N$ über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen $f\colon M\rightarrow N$ müssen die Regel erfüllen, dass jedem Element aus $M$ genau ein Element in $N$ zugeordnet wird.

Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion $f(z)=z^{2}$.

Schaubild der reellen Vorschrift $x\mapsto x^{2}$

Reelle Funktionen induzieren „Tabellendaten“ der Form $(x,f(x))$, wobei die Eingabewerte $x$ den Definitionsbereich von $f$ durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten $x$ und $f(x)$ in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, alle Werte $0<x<1$ aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen $(x,f(x))$ zu Punkten $(x,y)$ in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion.

Für komplexe Funktionen ist die Situation anders. Hier ist bereits der Eingangsbereich eine Fläche. Von daher müsste ein Schaubild nach Art reeller Funktionen vierdimensional sein, was nicht verständlich darstellbar ist. Ein Weg, komplexe, insbesondere holomorphe, Funktionen darzustellen, bedient sich eines Farbschlüssels. Einer komplexen Zahl wird je nach „Himmelsrichtung“ eine Farbe zugeordnet, wobei der Ursprung, also die Null, den Orientierungspunkt bildet. Zusätzlich wird mit der Helligkeit des Farbtons die Größe im Sinne des Abstands zum Ursprung visualisiert. Dabei bedeutet „dunkel“ nahe bei Null, und „hell“ nahe bei „Unendlich“.

• 
  Der Farbschlüssel, gezeigt durch das Schaubild der Selbstabbildung $z\mapsto z$. In etwa stehen rötliche Farben für komplexe Zahlen, die annähernd positiv reell sind.
• 
  Schaubild der komplexen Quadratfunktion $z\mapsto z^{2}$. Im Zentrum ist ihr Wert Null (schwarzer Punkt), denn $0^{2}=0$. Von dort aus nimmt sie links und rechts, also auf der reellen Achse, rote Werte (siehe linken Farbschlüssel) an, denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ. Von der Mitte startend nach Nord oder Süd ist Türkis präsent: Die Quadrate rein imaginärer Zahlen sind negativ.
• 
  Die komplexe Fortsetzung der Exponentialfunktion $z\mapsto e^{z}$. Ihre Beträge werden mit wachsendem Realteil schnell größer (exponentielles Wachstum), das Schaubild also heller, und für fallende Realteile kleiner, das Schaubild also dunkler. Parallel zur imaginären Achse des Eingabebereichs ist sie eine periodische Funktion.
• 
  Auch beim komplexen Sinus ist die Periodizität gut zu erkennen – dieses mal in reeller Ausrichtung, da $\sin(z+2\pi )=\sin(z)$. Seine Nullstellen an den Vielfachen der Kreiszahl $\pi$ sind durch die schwarzen Punkte zu erkennen.

Nicht alle komplexen Funktionen sind auf der gesamten komplexen Ebene definiert. In etwa sind Modulformen nur auf der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ der komplexen Zahlen erklärt. Dort nehmen sie wieder komplexe Wert an. Ist also $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C}$ eine Modulform, so ergeben die Auswertungen $f(1+i)$ und $f(-3+4i)$ Sinn, nicht aber $f(-i)$.

Gruppen

Allgemein

→ Hauptartikel: Gruppe (Mathematik)

Die Achsendrehungen eines Zauberwürfels erzeugen eine Gruppe, nämlich die Menge aller Manipulationsmöglichkeiten: „Nichts tun“ entspricht dem neutralen Element, und jede Abfolge von Drehungen kann durch (umgekehrtes) nacheinander „in die andere Richtung drehen“ rückgängig gemacht werden, was die jeweils inverse Operation gibt.

Gruppen wurden in der Mathematik eingeführt, um das Rechnen mit Zahlen zu verallgemeinern. Bei einer Gruppe $G$ handelt es sich um eine Menge von Objekten, zum Beispiel die ganzen Zahlen

$\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}$

und eine Verknüpfung auf dieser Menge, sodass gewisse Eigenschaften erfüllt sind. Mit Verknüpfung ist gemeint, dass man aus je zwei Elementen der Menge ein neues Element derselben erzeugen kann. Abstrakt handelt es sich also um eine Abbildung

$\star \;\colon \;G\times G\longrightarrow G$

die einem Paar $(g_{1},g_{2})$ bestehend aus zwei Gruppenelementen ein neues Gruppenelement $g_{1}\star g_{2}$ zuordnet. Im Falle der ganzen Zahlen ist eine solche zum Beispiel die Addition: Die Summe zweier ganzer Zahlen ist wiederum eine ganze Zahl. Also hat man:

$+\;\colon \;\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\;\;(n_{1},n_{2})\mapsto n_{1}+n_{2}.$

Etwa gilt

$(2,3)\mapsto 5,\qquad (-4,3)\mapsto -1.$

Um wirklich von einer Gruppe $G$ mit Verknüpfung $\star$ zu sprechen, muss zudem gelten:

• Assoziativgesetz: Die Klammerung bei der Verknüpfung ist egal. Zum Beispiel gilt $(a\star b)\star c=a\star (b\star c)$ für alle $a,b,c\in G$. Es ist also unerheblich, welche Verknüpfung in einer Kette von solchen zuerst ausgeführt wird, solange die Reihenfolge der Elemente nicht verändert wird. Dies ist offenbar bei der Addition in den ganzen Zahlen erfüllt, etwa gilt $2+(1+4)=(2+1)+4=7$.
• Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element $e\in G$, das bei Verknüpfung mit einem beliebigen anderen Element dieses unverändert lässt. Es gilt also $a\star e=e\star a=a$ für alle Elemente $a\in G$. In obigem Beispiel ist das neutrale Element die Null, denn es gilt $3+0=3$ und allgemein $n+0=n$ für jede (ganze) Zahl $n$.
• Existenz des Inversen: Zu jedem Element $a\in G$ gibt es ein Inverses, allgemein bezeichnet mit $a^{-1}\in G$, sodass $a\star a^{-1}=a^{-1}\star a=e$ gilt, also unter Verknüpfung das neutrale Element herauskommt. In obigem Beispiel der ganzen Zahlen ist $-n$ das Inverse zu $n$, da stets $n-n=0$ gilt.

Es gibt unter den Gruppen auch solche, die mit Zusatzeigenschaften auffallen.

• Gilt zusätzlich zu den Gruppeneigenschaften noch das Kommutativgesetz, also $a\star b=b\star a$ für alle $a,b\in G$, so spricht man auch von einer abelschen Gruppe (zu Ehren von Niels Henrik Abel). Zum Beispiel ist $\mathbb {Z}$ eine abelsche Gruppe, da die Summe zweier Zahlen nach deren Vertauschung unverändert bleibt.

Die volle Modulgruppe

→ Hauptartikel: Spezielle lineare Gruppe

Die 2x2-Determinante ist gleich dem orientierten Flächeninhalt des von ihren Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms. Sie „misst“ die Änderung des Flächeninhaltes, wenn man ein Parallelogramm durch Matrizenmultiplikation in ein anderes umformt. Ist sie 1, so ändert sich zum Beispiel die von den Spaltenvektoren aufgespannte Fläche nicht (Faktor 1), wenn man von $(1,0)$ und $(0,1)$ zu ihnen übergeht.

Es gibt zahlreiche Beispiele für Gruppen, etwa die Menge der rationalen Zahlen ohne die Null, in Zeichen $\mathbb {Q} \setminus \{0\}$, mit der Multiplikation als Verknüpfung (das neutrale Element ist dann die $1$). Für die Theorie der Modulformen wichtig ist jedoch eine ganz bestimmte Gruppe, die spezielle lineare Gruppe über den ganzen Zahlen (im Falle $n=2$) – kurz $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$. Genannt wird diese auch einfach volle Modulgruppe. Diese besteht aus $2\times 2$-Matrizen mit ganzen Einträgen, deren Determinante gleich 1 ist. Einfach gesprochen handelt es sich dabei um Tabellen mit vier ganzen Einträgen, also zum Beispiel

${\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}}.$

Für eine allgemeine $2\times 2$-Matrix

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

besagt die Bedingung Determinante = 1 aber noch zusätzlich

$\det(A)=ad-bc=1.$

Obere Beispielmatrix liegt daher in $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, denn alle Einträge sind ganzzahlig und es gilt

$2\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=10-9=1.$

Neben der komponentenweisen Addition für Matrizen, wie

${\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}5&0\\1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&-3\\-2&8\end{pmatrix}}$

unter derer $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ jedoch nicht zur Gruppe wird, existiert noch die Matrizenmultiplikation, in allgemeinen Symbolen:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}},$

und wie üblich bedeutet $ab$ das gleiche wie $a\cdot b$. Unter dieser wird wegen der Rechenregel $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ und $1\cdot 1=1$ die Menge $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ zu einer (nicht-abelschen) Gruppe, da jede Matrix mit Determinante 1 auch eine Inverse (über ihrem Ring, in diesem Falle $\mathbb {Z}$) besitzt. Das neutrale Element der vollen Modulgruppe ist die Einheitsmatrix

$I_{2}:={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Gruppenoperationen

→ Hauptartikel: Gruppenoperation

Die Achsendrehungen operieren als Gruppe auf der Menge $X$ „aller möglichen Farbzustände“ eines Zauberwürfels. Die Illustration zeigt eine Drehung um die horizontale Achse (hier etwas schräg) links außen – abstrakt gesehen ein Gruppenelement $g$ in allen Achsendrehungen. Vor der Drehung (Bild) ist der Eingabewert, und nach der Drehung der Ausgabewert der Funktion $g\colon X\to X$.

Illustration der Operation erst von 3 und dann von −2 auf die reelle Zahl 0. In Verkettung ergibt sich 1: Es ist egal, ob verkettet wird mit $(-2)(3(0))$ (grün und blau), oder $3-2=1$ gebildet, und dieses als Element in $\mathbb {Z}$ auf 0 operiert (orange).

Das Konzept der Gruppenoperation (manchmal auch Gruppenwirkung) sieht vor, dass die Elemente einer Gruppe $G$ auf die Elemente einer Menge $X$ „zugreifen“, und diese „untereinander manipulieren“. Kurz gesagt wird jedes Gruppenelement $g\in G$ zu einer 1:1-Abbildung $g\colon X\to X$, man hat also eine Zuweisung

$G\longrightarrow \{f\colon X\to X\},$

und dieses Prozedere ist „verträglich“ mit der Gruppenstruktur.

Anschaulich machen lässt sich dies an einem Beispiel. Gewählt wird $X=\mathbb {R}$ (die reellen Zahlen) und $G=\mathbb {Z}$ mit der Addition. Jede ganze Zahl $n$ induziert nun eine 1:1-Abbildung $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ via

$n(x):=x+n$.

Damit wird jede ganze Zahl zu einer Funktion $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Zum Beispiel gilt

$2(x)=x+2,\qquad {\text{etwa}}\qquad 2(0{,}5)=2+0{,}5=2{,}5,\qquad {\text{oder}}\qquad (-4)(1{,}2)=-2{,}8.$

Jede dieser Abbildungen ist 1:1, kann $n(x)$ doch sofort mit $(-n)(x)$ wieder umgekehrt werden.

Entscheidend ist die Verträglichkeit zwischen Verkettung und Gruppenstruktur: Ist allgemein $g_{1},g_{2}\in G$ und $e$ das neutrale Element, so soll für alle Elemente in $X$ immer gelten:

$g_{1}(g_{2}(x))=(g_{1}*g_{2})(x),\qquad {\text{sowie}}\qquad e(x)=x.$

Es ist also $e(x)$ die triviale Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, und zudem egal, ob zwei Funktionen verkettet werden, oder stattdessen ihre Verknüpfung in $G$ gebildet wird, und die resultierende Funktion $g_{1}*g_{2}\colon X\to X$ auf $x$ angewendet. Im Falle des Beispiels liegen diese Bedingungen auf der Hand, für ganze Zahlen $n_{1},n_{2}$ und eine reelle Zahl $x$ gilt:

$\underbrace {n_{1}(n_{2}(x))} _{\text{Verkettung}}=n_{1}(x+n_{2})=x+n_{1}+n_{2}=\underbrace {(n_{1}+n_{2})} _{\text{Verknüpfung}}(x)\qquad {\text{und}}\qquad 0(x)=x+0=x.$

Zum Beispiel ist $2(5(x))=2(x+5)=x+5+2=(2+5)(x)=7(x)$.

Im Falle der Modulformen wird die Gruppenoperation der Gruppe $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ auf der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ der komplexen Zahlen benötigt. Diese ist gegeben durch sog. Möbiustransformation. Eine Matrix

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$

wird zu einer Funktion $\mathbb {H} \to \mathbb {H}$ via

$A(z)={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(z):={\frac {az+b}{cz+d}}.$

Dabei handelt es sich um eine linear-gebrochene Funktion. Es kann elementar – wenn auch aufwendig – nachgerechnet werden (Bruchrechnung), dass dies eine Gruppenoperation bildet. Wichtig ist dabei auch die Wohldefiniertheit, also dass die Funktionen tatsächlich $\mathbb {H} \to \mathbb {H}$ abbilden. Es gilt allerdings für Matrizen aus $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$

$\mathrm {Im} \left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)={\frac {\mathrm {Im} (z)}{|cz+d|^{2}}}>0\iff z\in \mathbb {H} .$

Orbiträume und Fundamentalbereiche der vollen Modulgruppe

Orbiträume einer Gruppenwirkung entstehen dann, wenn man Elemente, die unter der Operation auseinander hervorgehen, als gleich ansieht. Wieder kann als Beispiel $X=\mathbb {R}$ und $G=\mathbb {Z}$ dienen. In diesem Falle wären $0{,}5$ und $3{,}5$ „gleich“, da sie durch die Gruppenoperation auseinander hervorgehen:

$3(0{,}5)=3{,}5.$

Man schreibt in diesem Falle auch $[0{,}5]=[3{,}5]$, wobei die $[x]$ Äquivalenzklassen sind, sog. Bahnen. Ausgeschrieben gilt

$[0{,}5]=\{\ldots ,-1{,}5;-0{,}5;0{,}5;1{,}5;2{,}5;\ldots \}.$

Im Alltag ließe sich das Prinzip der Äquivalenzklassen damit vergleichen, dass eine Person, die nur an der Anzahl an Wohnungen in einer Stadt interessiert ist, die Bewohner derselben Wohnung als „gleich“ ansehen würde, um die „Klassen an Menschen“ = Wohnungen zu zählen (wobei hier vereinfachend angenommen wird, jeder Mensch bewohne nur genau eine Wohnung). In diesem Sinne wären $0{,}5$ und $1{,}5$ Teil derselben Klasse bzw. „Wohnung“, da sie aus einer Translation um 1 auseinander hervorgehen, also beide in $[0{,}5]$ liegen („in der Wohnung $[0{,}5]$ leben“).

Die Kollektion der Bahnen $[x]$ definiert nun den Orbitraum („Menge der Wohnungen“) der Operation von $G$ auf $X$, bezeichnet als $G\backslash X$. Zum Beispiel ist

$\mathbb {Z} \backslash \mathbb {R} \cong [0,1)$ (Schreibweise für halboffenes Intervall von 0 (abgeschlossen) bis 1 (offen); das Symbol $\cong$ bedeutet, es lassen sich beide Objekte identifizieren),

denn jede reelle Zahl $x$ besitzt genau ein eindeutig bestimmtes Element $0\leq y<1$, das durch die Gruppenoperation mit $\mathbb {Z}$ aus $x$ hervorgeht. In etwa ist $(10)(-9{,}8)=0{,}2\in [0,1)$. Geometrisch lässt sich dies dadurch deuten, dass jede reelle Zahl auf dem Zahlenstrahl durch Translation um den Wert 1 nach links oder rechts irgendwann im Intervall $[0,1)$ landet – aber dies auf eindeutige Weise.

Zu beachten ist, dass $[0,1)$ lediglich eine (nützliche) Darstellung des Orbitraums ist – und damit keineswegs eindeutig. So wäre $[1,2)$ ebenfalls eine legitime Darstellung, wenn (ebenfalls immer eindeutig existierende) Klassenvertreter im Intervall $2\leq x<3$ gewählt werden, aber zum Beispiel auch $(\pi ,\pi +1]$. In einigen Anwendungen ist es jedoch zweckmäßig, den Orbiträumen „kleine Mengen“ hinzuzufügen, um sie „mathematisch schöner“ zu machen. In etwa kann es von Vorteil sein, dass abgeschlossene Intervall $[0,1]$ als „Orbitraum“ zu betrachten, da es eine kompakte Menge in den reellen Zahlen ist. Dies ist für die Theorie der Modulformen ebenfalls wichtig: Auch hier ist es üblich, die Orbiträume geringfügig abzuändern, um sie später leichter behandeln zu können.

Im Falle der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ und der vollen Modulgruppe $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ können ebenfalls Orbiträume $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathbb {H}$ angegeben werden. Durch geringfügige Änderungen am Rand (wie oben beim Übergang von $[0,1)$ zu $[0,1]$) hat sich jedoch hier der Begriff des Fundamentalbereichs etabliert. Der sog. Standardfundametalbereich der Operation von $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ auf $\mathbb {H}$ hat die Gestalt

${\mathcal {F}}=\left\{z\in \mathbb {H} \,\,\colon \,\,\left|z\right|\geq 1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\right\}.$

Dabei bedeutet:

• $\left|z\right|\geq 1$, dass $z$ außerhalb der komplexen Einheitskreisscheibe liegt,
• $\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|\leq {\tfrac {1}{2}}$, dass $z$ im Streifen zwischen Realteil $-{\tfrac {1}{2}}$ und ${\tfrac {1}{2}}$ liegt.

• 
  Der Standardfundamentalbereich ${\mathcal {F}}$ in grau schattiert. Manchmal wird dies auch als Modulfigur bezeichnet. Die obere Halbebene lässt sich durch Fundamentalbereiche der vollen Modulgruppe überdecken.
• 
  Die zwei parallelen Linien an der Modulfigur treffen sich mit der „richtigen Perspektive“ im unendlich fernen Punkt. Dieser wird auch noch beachtet, wenn es um die Definition von Modulformen geht. Modulformen dürfen nicht zu schnell wachsen, wenn die Funktionswerte diesem Punkt „näher kommen“.

Automorphe Formen

„Modular forms are functions on the complex plane that are inordinately symmetric. They satisfy so many internal symmetries that their mere existence seem like accidents. But they do exist.“

„Modulformen sind Funktionen auf der komplexen Ebene, die außerordentlich symmetrisch sind. Sie erfüllen so viele innere Symmetrien, dass ihre bloße Existenz wie ein Zufall erscheint. Doch sie existieren tatsächlich.“

– Barry Mazur

Das Zusammenspiel aus Invarianz (hier unter der Translation $x\mapsto x+1$) und „guten“ analytischen Eigenschaften befördert in der Mathematik oft nützliche Resultate zu Tage: Obwohl „nur“ stückweise differenzierbar, lässt sich das Sägezahnsignal in allen Stetigkeitspunkten in eine Fourier-Reihe entwickeln.

Sehr kurz und einfach gesprochen motiviert sich der Begriff der automorphen Form aus zwei Ideen:

1. Man beginnt mit einer Funktion $f$ auf einem Definitionsbereich $X$, auf dem eine Gruppe $G$ operiert, mit Werten zum Beispiel in den komplexen Zahlen. Diese Funktion soll (in einem gewissen Sinne) unter der Gruppenwirkung unverändert, also invariant, sein. Dies gibt die Möglichkeit, sie zu einer Funktion auf dem Orbitraum $G\backslash X$ „einzuschränken“.
2. Es soll $f$ „gute analytische Eigenschaften“ haben, je nach Kontext (und Definitionsbereich) etwa Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Glattheit oder sogar Holomorphie.

Dem oberen Beispiel folgend kann $X=\mathbb {R}$, $G=\mathbb {Z}$ und $f(x)=\sin(2\pi x)$ gewählt werden. Da der Sinus $2\pi$-periodisch ist, gilt

$f(x+1)=f(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$,

weshalb $f$ unter der Gruppenoperation von $\mathbb {Z}$ auf $\mathbb {R}$ invariant bleibt:

$\ldots =f(x-3)=f(x-2)=f(x-1)=f(x)=f(x+1)=f(x+2)=f(x+3)=\ldots .$

Also reicht es aus, die Funktion $f$ auf dem Intervall $[0,1)\cong \mathbb {Z} \backslash \mathbb {R}$ (oder auch $[0,1]$) zu betrachten; wegen der Periodizität kennt man dann automatisch ihr gesamtes Abbildungsverhalten $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Mathematisch ausgedrückt: $f$ induziert auf natürliche Weise eine Abbildung

${\widetilde {f}}\colon \mathbb {Z} \backslash \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, mit ${\widetilde {f}}([x]):=f(x).$

Es besitzt der Sinus aber auch „gute analytische Eigenschaften“: Er ist beliebig oft differenzierbar und kann sogar holomorph nach $\mathbb {C}$ fortgesetzt werden.

In der Mathematik zeigt sich, dass die Kombination aus einer „Form der Invarianz“ und „guten analytischen Eigenschaften“ immer wieder zu verblüffenden Ergebnissen führt. Das obere Beispiel aufgreifend gilt etwa:

Satz. Jede stetig differenzierbare, 1-periodische Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ lässt sich in eine Fourier-Reihe entwickeln,

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(2\pi nx)+b_{n}\sin(2\pi nx)),$

mit eindeutig bestimmten Fourier-Koeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$, die überdies absolut und gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.

Es ist also jedes solche $f$ aus Sinus- und Kosinus-Bausteinen „auf eindeutige Weise zusammengesetzt“, mit weitreichenden Konsequenzen in Analysis, Physik und Signalverarbeitung.

Elliptische Modulformen zur vollen Modulgruppe sind automorphe Formen hinsichtlich $X=\mathbb {H}$ und $G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$. Als „analytische Bedingung“ wird hierbei meist Meromorphie oder Holomorphie (= ganze Modulform) verlangt, es gibt aber zahlreiche Verallgemeinerungen, die auch schwächere Bedingungen zulassen. Fordert man nun eine Invarianz im strikten Sinne, so ist eine ganze Modulform eine holomorphe Funktion auf der oberen Halbebene, sodass

$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$ für alle ganzen Zahlen $a,b,c,d$ mit $ad-bc=1$,

oder in Termen der Gruppenoperation

$f(M(z))=f(z)$ für alle $M\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$,

wenn zusätzlich der Wert $\lim _{\mathrm {Im} (z)\to \infty }f(z)$ existiert. Konkrete Beispiele sind etwa

$f(z+1)=f(z),\qquad f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=f(z)\qquad$ aber auch $\qquad f\left({\frac {5z-3}{-3z+2}}\right)=f(z).$

Zu beachten ist,

1. dass diese Funktionalgleichungen – und unendlich viele weitere – alle gleichzeitig erfüllt sein müssen, was dem Abbildungsverhalten von $f$ eine „starke Symmetrie“ verleiht, und
2. mit der geforderten Holomorphie (die u. a. Glattheit, Differenzierbarkeit und Stetigkeit impliziert) eine ganz besonders starke und damit restriktive analytische Bedingung gestellt wird.

In diesem Fall spricht man auch von einer (ganzen) Modulfunktion.

• 
  Die obere Halbebene, überdeckt von Fundamentalbereichen der Operation der $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$. In etwa sendet die „Involution“ $z\mapsto -{\tfrac {1}{z}}$ den grau gefärbten Standardfundamentalbereich auf das „gebogene Dreieck“ direkt unter ihm.
• 
  Schaubild der j-Funktion, einer Modulfunktion. Sie ist überall holomorph, aber unbeschränkt für wachsende Imaginärteile. Ihre enorme Symmetrie zeigt sich dadurch, dass sie nicht nur 1-periodisch, sondern zum Beispiel auch invariant unter der „Involutionssymmetrie“ $z\mapsto -{\tfrac {1}{z}}$ ist. Es lässt sich die Gestalt der Fundamentalbereiche (linkes Bild) erahnen: In jedem solchen taucht jede mögliche Färbung als Einzelpunkt genau einmal auf, da die j-Funktion dort 1:1 in die komplexen Zahlen abbildet. Die Farbspektren werden durch die jeweiligen „Schlieren“ vollständig abgedeckt.
• 
  Im Vergleich (selber Ausschnitt): Auch der komplexe Sinus $\sin(2\pi z)$ ist 1-periodisch, aber hat darüber hinaus nicht so viele Symmetrien.

In etwa ist die Kombination aus absoluter invarianz, Holomorphie in jedem Punkt, sowie Beschränktheit für wachsenden Imaginärteil derart restriktiv, dass gilt:

Satz. Jede ganze Modulfunktion ist konstant.

Es gibt also keine nichttrivialen ganzen Modulfunktionen. Daher zeigt sich in der Anwendung, dass entweder die Forderung absoluter Invarianz oder globaler Holomorphie in vielen Fällen zu restriktiv ist, weshalb man diese abschwächt und damit zum Begriff der Modulform kommt. Diese Abschwächung vollzieht sich durch Einführung eines weiteren Parameters, der im klassischen Fall eine ganze Zahl ist und meistens mit $k$ bezeichnet wird. Genannt wird dieser Parameter auch das Gewicht. Im einfachsten Falle spricht man bei einer holomorphen Funktion $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {C}$ von einer ganzen, elliptischen Modulform des Gewichts $k\in \mathbb {Z}$ zur vollen Modulgruppe, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1. Funktionalgleichungen: $(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$ für alle ganzen Zahlen $a,b,c,d$ mit $ad-bc=1$ und alle $z\in \mathbb {H}$,
2. Wachstumsbedingung: $\lim _{\mathrm {Im} (z)\to \infty }f(z)$ existiert (mit dem Imaginärteil $\mathrm {Im} (z)$).

Der Fall $k=0$ entspricht dann dem der ganzen Modulfunktion, da stets $(cz+d)^{0}=1$. Jedoch tauchen im ganzen Falle hier nur konstante Funktionen auf. Durch die Wahl $a=b=d=1$ und $c=0$ ergibt sich ferner

$f(z+1)=f(z)$,

weshalb jede Modulform eine 1-periodische Funktion ist.

Modulformen sind keine Funktionen mehr, zumindest nicht auf $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathbb {H}$, da der Faktor $(cz+d)^{-k}$ für $k\not =0$ im Allgemeinen nicht 1 ist und somit keine absolute Invarianz mehr vorliegt. Dennoch ist ihre Definition aus mathematischer Sicht sehr nützlich, da sich der Begriff der Funktion ausweiten lässt. Zudem ist der Quotient ${\tfrac {f}{g}}$ zweier Modulformen ($g$ nicht konstant 0) stets eine Modulfunktion, wenn auch nicht unbedingt eine ganze. Dies erlaubt gewissermaßen eine „Rückführung“ der Theorie der Modulformen auf jene der Modulfunktionen.

Hinführung zu zentralen Konzepten hinter der Arithmetik von Modulformen

Multiplikative Zahlenfolgen

Bereits Euklid von Alexandria wusste um die Möglichkeit, natürliche Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Erst Carl Friedrich Gauß hat die Tatsache, dass die Primfaktorzerlegung in allen Fällen auch eindeutig ist, mathematisch streng bewiesen.

Ein Grundprinzip der Zahlentheorie ist, dass die natürlichen Zahlen sich multiplikativ aus den Primzahlen zusammensetzen. Jede Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben, etwa

$12=2\cdot 2\cdot 3=2^{2}\cdot 3$ mit den Primzahlen $2$ und $3$.

Diese Zerlegung bildet das Fundament fast aller arithmetischen Überlegungen, weshalb der diesbezügliche Satz auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet wird.

In der Zahlentheorie untersucht man oft Folgen ganzer Zahlen, die zu jeder natürlichen Zahl einen Wert zuordnen. Ein erstes Beispiel ist die Folge der Quadratzahlen:

$1,\;\;4,\;\;9,\;\;16,\;\;25,\;\;36,\;\;49,\;\;64,\;\;81,\;\;100,\;\;121,\;\;\ldots$ usw.

Die Schwierigkeit solcher Untersuchungen hängt sehr stark von der Art der Zahlenfolge, aber auch der Fragestellung ab. Manchmal reicht es für Anwendungen, etwa aus der Komplexitätstheorie, bereits aus, abzuschätzen, wie schnell eine Folge anwächst (polynomiell, exponentiell,…?). In der reinen Mathematik ist man darüber hinaus auch an der „Struktur der Zahlen selbst“ interessiert, weshalb man mitunter nach stärkeren Resultaten sucht, etwa nach exakten Formeln, mit denen man jedes beliebige Folgeglied schnell berechnen kann, oder „Wahrscheinlichkeiten“, dass eine „zufällig gewählte“ Zahl eine bestimmte Eigenschaft erfüllt (in einem asymptotischen Sinne).

Zahlenfolgen werden häufig durch $a_{n}$ (bei mehreren Folgen $b_{n},c_{n}$ usw.) ausgedrückt. Im Falle der Quadratzahlen hat man dann

$a_{1}=1,\;\;a_{2}=4,\;\;a_{3}=9\;\;$ usw.

Manche dieser Folgen sind vollständig multiplikativ: Es gilt in diesem Falle für natürliche $m,n$

$a_{mn}=a_{m}\,a_{n},$ und $a_{1}=1.$

Das Produkt der Werte ist also gleich dem Wert am Produkt. Etwa die Quadratzahlen erfüllen diese Eigenschaft. Sehen lässt sich dies anhand des Kommutativgesetzes:

$m^{2}\cdot n^{2}=m\cdot m\cdot n\cdot n=m\cdot n\cdot m\cdot n=(m\cdot n)^{2},$ zum Beispiel gilt $2^{2}\cdot 5^{2}=4\cdot 25=100=10^{2}=(2\cdot 5)^{2}.$

Folgerung: Es genügt, die Quadratzahlen aller Primzahlen zu kennen,

${\color {red}{4}},\;\;9,\;\;{\color {red}{25}},\;\;49,\;\;121,\;\;$ usw.

denn die restlichen Quadratzahlen setzen sich multiplikativ aus diesen zusammen. Etwa ist $100$ nicht in oberer Liste, aber es gilt ${\color {red}{4}}\cdot {\color {red}{25}}=100$. Hat man also ganz allgemein eine Primfaktorzerlegung

$n=p_{1}^{t_{1}}\,p_{2}^{t_{2}}\cdots p_{s}^{t_{s}},$

so folgt im vollständig multiplikativen Falle die Berechnungsformel

$a_{n}=a_{p_{1}}^{t_{1}}\,a_{p_{2}}^{t_{2}}\cdots a_{p_{s}}^{t_{s}}$ (oder anders ausgedrückt: $a_{n}$ ist durch die Werte $a_{p}$ bereits vollständig bestimmt).

In einigen Fällen ist dies jedoch zu restriktiv. Einige für die Zahlentheorie bedeutende Folgen sind nicht vollständig multiplikativ, erfüllen aber immer noch eine etwas schwächere Bedingung. Man nennt eine Folge $a_{n}$ multiplikativ, wenn für zwei teilerfremde Zahlen $m$ und $n$ stets

$a_{mn}=a_{m}\,a_{n}$

gilt und $a_{1}=1.$ Es gilt die Berechnungsformel

$a_{n}=a_{p_{1}^{t_{1}}}a_{p_{2}^{t_{2}}}\cdots a_{p_{s}^{t_{s}}}.$ (oder anders ausgedrückt: $a_{n}$ ist durch die Werte $a_{p^{t}}$ an Primzahlpotenzen bereits vollständig bestimmt).

Ein erstes, nichttriviales Beispiel ist die Teilersummenfunktion $\sigma _{1}(n)$, die alle positiven Teiler von $n$