Bestimmt werden meine Leser in diesem rationalen Blogeintrag nichts Neues erfahren.
Ein Bruch ist nichts anderes als ein Quotient. Im Gegensatz zu einer Dezimalzahl enthält er die Information über den Teil hinter dem Dezimaltrennzeichen verlustfrei. Dafür ist ein Bruch nicht eindeutig. Die gleiche Zahl kann durch unterschiedliche Brüche dargestellt werden.
Seien z (Zähler) und n (Nenner) zwei ganze Zahlen, wobei n zwingend ungleich 0 sein muss. Dann bedeutet der Bruch z/n das gleiche wie die Division z geteilt durch n.
Ein gemischter Bruch g z/n (mit g,z,n ungleich 0) ist nur eine Abkürzung für g + z/n*sgn(g) = (n*g +z*sgn(g))/n. Auf gemischte Brüche werde ich nicht weiter eingehen.
Jede ganze Zahl kann als Bruch geschrieben werden, indem man den Nenner auf 1 setzt.
Beim Kehrbruch oder reziproken Bruch sind Zähler und Nenner vertauscht: n/z.
Unter Erweitern eines Bruches versteht man die Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben Zahl k: (k*z)/(k*n). Der Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht. Ebenso kann man den Bruch kürzen, wenn z und n gemeinsame Faktoren haben (in diesem Fall k), indem man sowohl Zähler als auch Nenner durch k dividiert.
Man addiert zwei Brüche z1/n1 + z2/n2 indem man sie zunächst auf ein gemeinsames Vielfaches von n1 und n2 erweitert. Will man mit möglichst kleinen Zahlen rechnen, nutzt man das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches). Für einen Computer ist es am leichtesten, einfach das Produkt der beiden Nenner zu nehmen. Im Prinzip geht es mit jedem beliebigen Vielfachen beider Nenner.
Um Schreibarbeit zu sparen, erweitere ich den ersten Bruch mit n2 und den zweiten mit n1. Es ergibt sich z1*n2/(n1*n2) + z2*n1/(n1*n2). Dadurch sind beide Brüche auf den gleichen Nenner gebracht, und ich kann sie zu einem Bruch zusammenfassen: (z1*n2 + z2*n1)/(n1*n2). Ja so einfach berechnet sich die Summe. Häufig lässt sich das Ergebnis durch Kürzen vereinfachen.
Ganz analog ergibt sich für die Differenz zweier Brüche z1/n1 – z2/n2 =(z1*n2 – z2*n1)/(n1*n2)
Das Produkt zweier Brüche z1/n1 * z2/n2 berechnet sich nach der eingängigen Formel „Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner“, also (z1*z2)/(n1*n2). Durch frühzeitiges Kürzen erspart man sich dabei so manche Multiplikation.
Genauso leicht ist die Division zweier Brüche. Wie erinnern uns, dass ein Bruch ja auch nichts anderes ist, als ein Quotient. z1/n1 : z2/n2 ist also das gleiche, wie wenn man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert. Es ergibt sich (z1*n2)/(z2*n1). Entsprechend verfährt man mit einem Doppelbruch (z1/n1)/(z2/n2) und zieht einfach den Nenner des unteren Bruches in den Zähler des oberen, und den Nenner des oberen Bruches nach unten.
Bei Potenzen muss man unterscheiden, ob der Bruch die Basis oder den Exponenten bildet. (z/n)^a = z^a/n^a – die Potenzierung wird also getrennt für Zähler und Nenner durchgeführt. Im Spezialfall (z/n)^(-1) ergibt sich der Kehrbruch n/z.
Berechnen wir nun x^(z/n), so ist das gemäß den Potenzgesetzen gleich (x^z)^(1/n). Durch Umkehrungen findet sich, dass eine Zahl hoch 1/n die n-te Wurzel aus dieser Zahl ist.
Der Logarithmus eines Bruches log(z/n) = log(z) – log(n).
Falls hier jemand praktische Beispiele vermisst hat: demnächst werde ich eine Anwendung davon bringen, für die aber diese theoretischen Vorkenntnisse erforderlich sind, und ich vielleicht nicht voraussetzen sollte, dass das sowieso jeder weiß.
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