In this paper, I discuss the challenges and affordances of assessing students' possession of math... more In this paper, I discuss the challenges and affordances of assessing students' possession of mathematical competencies. It is argued that using a set of mathematical competencies as learning goals for mathematics education challenges the reliability of the assessment schema, but also holds potential in raising the validity. The latter is evidenced by a case study of oral exams following experimental competency oriented mathematics education in grades 7-9 in Denmark.
I denne artikel anlægger og udfolder vi nogle perspektiver på forholdet mellem på den ene side ’m... more I denne artikel anlægger og udfolder vi nogle perspektiver på forholdet mellem på den ene side ’matematiske kompetencer’ og på den anden side ’evaluering’ med henblik på at diskutere formativ evaluering af matematiske kompetencer. Først fremlægger vi vores forståelse af matematiske kompetencer som fænomen og som læringsmæssig målkategori og af evaluering som didaktisk-pædagogisk aktivitet, i begge tilfælde ved at anlægge begrebsanalytiske synsvinkler. Det danner grundlag for vores bud på potentialer og udfordringer ved at bedrive evaluering af elevers matematiske kompetencebesiddelse og -udvikling. Kernen er her dels en skelnen mellem en holistisk og en atomistisk tilgang og udfordringerne i begge, dels en tilgang til evaluering med eksplicit vægt på at efterstræbe høj validitet. Derefter præsenterer og diskuterer vi eksempler på brug af den fremlagte analyse fra udvalgte forsknings- og udviklingsprojekter. Til slut sammenfatter vi de erfaringer, disse eksperimentelle aktiviteter ha...
For decades, mastery ambitions related to processes like problem-solving, modelling, and reasonin... more For decades, mastery ambitions related to processes like problem-solving, modelling, and reasoning have been incorporated in mathematics curricula around the world. Meanwhile, such ambitions are hindered by syllabusism, a term I use to denote a conviction that results in mastery of a subject being equated with proficiency in a specific subject matter and making that equation the fulcrum of educational processes from teaching to curriculum development. In this article, I argue that using an open two-dimensional structure for curricular content that comprises a set of subject-specific competencies and a modest range of subject matter can help fight syllabusism. I explore and motivate the concept of syllabusism, using the development of a width-depth model of possible curricular ambitions within a given period of time to visualise the detrimental consequences for the attained depth of student learning. In the final part of the article, I illustrate the use of the width-depth model by analysing a specific mathematics curriculum. This analysis leads to two conclusions. Firstly, by highlighting mastery ambitions at the structural level, an open two-dimensional content structure is a powerful means to fight syllabusism. Secondly, using such an approach requires the explicit expression of these mastery ambitions and their conceptualisation independent of the subject matter. In the case of mathematics education, this has taken the form of a set of mathematical competencies. Mastery ambitions • Syllabusism • Width-depth model • Annotated syllabus content structure • Two-dimensional content structure • Mathematical competencies B Tomas Højgaard
Formalet med denne artikel er at karakterisere didaktisk modellering som en undersogelseslogik i ... more Formalet med denne artikel er at karakterisere didaktisk modellering som en undersogelseslogik i matematikkens didaktik. Vi beskriver og reflekterer over forskellige faser i en erkendelsesrettet systematisk undersogelse. Inspireret af den matematiske modelleringsproces beskrives hvorledes det at taenke i modeller og modellering kan vaere meningsfuldt i den forbindelse. Vi diskuterer begrundelserne for at vaelge didaktisk modellering og sammenligner tilgangen med designbaseret uddannelsesforskning og kritisk matematikundervisnings-forskning.
Modelling and Applications in Mathematics Education
In this section we discuss a broad range of classroom activities, and of teaching style, that are... more In this section we discuss a broad range of classroom activities, and of teaching style, that are required to produce the benefits that modeling can provide to the student learning mathematics. We discuss support for teachers and the shortage of good modeling tasks that need to be developed into effective curriculum materials.
I denne artikel argumenterer jeg for det hensigtsmaessige i at arbejde med (matematisk)modellerin... more I denne artikel argumenterer jeg for det hensigtsmaessige i at arbejde med (matematisk)modelleringskompetence og (matematisk) problemlosningskompetence som to vaesensforskelligelaeringsmal fordi en sadan skelnen kan bruges som kommunikationsvaerktoj nar der skal etableres endagsorden i og omkring klasserummet i almindelighed, og nar der skal udvikles og/eller vaelges godeelevudfordringer i saerdeleshed. Forst karakteriserer jeg de to kompetencer. Derefter fremhaever jegderes forskellige kerner, bade abstrakt og mere konkret ved at analysere formuleringen af forskelligeeksemplarisk valgte opgavetyper. Afslutningsvis omtaler jeg kort nogle af mine egne erfaringer medat bruge den fremlagte form for analyse i konkrete udviklingsrettede projekter og laegger op til videreundersogelse, udvikling og debat ved at formulere to hypoteser om hvilke opgavetyper der dominererden danske matematikundervisning, og hvorfor. In this paper I argue in favour of making a clear distinction between mathema...
Denne afhandling er et af resultaterne af et kombineret forsknings-og udviklingsprojekt indenfor ... more Denne afhandling er et af resultaterne af et kombineret forsknings-og udviklingsprojekt indenfor matematikkens didaktik. Projektet har bestået i at gennemføre en systematisk undersøgelse struktureret omkring spørgsmålet: Hvorfor er matematisk modellering ikke matematikundervisningens omdrejningspunkt? Undersøgelsen er startet med en analyse af, hvad man potentielt kan opnå ved at laegge stor vaegt på matematisk modellering i matematikundervisningen. Det har jeg fulgt op med at analysere nogle forhold som det er centralt at vaere opmaerksom på ved tilrettelaeggelsen af en sådan undervisning. Derefter har jeg brugt disse pejlemaerker til at forsøge at lade en klasse i det almene gymnasium gennemføre et toårigt matematikundervisningsforløb med matematisk modellering som omdrejningspunkt. Dette forløb har jeg så analyseret med henblik på at identificere hvad der har vaeret muligt og hvad der har udgjort centrale hindringer på alle niveauer. Hvis man ser projektet i lyset af den gennemførte forsøgsundervisning, kan man nemt få det indtryk, at afhandlingen er en analyse af specielt det almene gymnasiums matematikundervisning. Det er dog kun del IV der specifikt er underlagt denne afgraensning. Hovedparten af de resterende dele af analysen er gennemført med tanke på de matematikholdige almendannende uddannelser generelt, og jeg forestiller mig derfor at den også kan have interesse for personer, der ikke specifikt er orienteret mod det almene gymnasium-men det er selvfølgelig op til andre end mig at bedømme.
Artiklen beskriver og analyserer et udviklingsprojekt hvor alle matematiklærere på grundskolerne ... more Artiklen beskriver og analyserer et udviklingsprojekt hvor alle matematiklærere på grundskolerne i Ishøj Kommune gennem tre år blev efteruddannet i at planlægge, tilrettelægge, gennemføre og evaluere eksplicit kompetenceorienteret matematikundervisning. Efter præsentationen af projektet og processen giver artiklen en analyse af erkendelser og erfaringer som vi vurderer andre kan have glæde af at kende til. Analysen er gennemført ud fra tre perspektiver: Den konkret gennemførte proces, indsatsen fra og samarbejdet mellem aktører på forskellige niveauer samt forankringen af indsatsen
Artiklen beretter om og analyserer det såkaldte SOS-projekt, hvor matematiklaerere fra grundskole... more Artiklen beretter om og analyserer det såkaldte SOS-projekt, hvor matematiklaerere fra grundskolen, gymnasiet og laereruddannelsen har samarbejdet med matematikdidaktiske forskere om at undersøge og afhjaelpe nogle af de udfordringer som danske elever møder i matematik ved overgangen fra grundskole til gymnasium. I projektet har vi identificeret og afgraenset matematisk symbolbehandlingskompetence som vaesentlig ved denne overgang. Undersøgelsens kerne var derfor at udvikle og afprøve forløb der kunne støtte udviklingen af symbolbehandlingskompetence på 9. klassetrin. Erfaringerne viser at det er muligt at udvikle og gennemføre sådanne forløb og at gøre eleverne bevidste om kompetencen. I projektet har vi eksperimenteret med didaktisk modellering som metode med henblik på at skabe sammenhaeng mellem de overordnede mål-og begrundelsesdiskussioner i forhold til konkrete undervisningsforløb og mere konkrete overvejelser om gennemførelsen heraf. I denne proces har laerernes forskellige erfaringer dannet frugtbart grundlag for formulering af faelles didaktiske ankerpositioner og for konkrete diskussioner af konstruerede undervisningsepisoder til støtte for forsøgsundervisningen. Det eksplicitte fokus på symbolbehandlingskompetence har efter laerernes egne udsagn påvirket deres undervisningspraksis ud over forsøgsundervisningen. Indledning Som matematikdidaktiske forskere blev vi i foråret 2005 bedt om at indgå i et forsknings-og udviklingsprojekt. Projektet skulle handle om kompetencebaseret tilrettelaeggelse og evaluering af matematikundervisning med sigte på at skabe større sammenhaeng mellem grundskolens og gymnasiets matematikundervisning. Det havde base på CVU Fyn (nu Lillebaelt) under ledelse af Rikke Schultz og involverede to matematiklaerere fra laereruddannelsen, Erik Bilsted og John Schou (CVU Lillebaelt), to laerere fra gymnasiet, Peter Allan Nielsen og Kristian Kraegpøth (Odense Tekniske Gymnasium), og to grundskolelaerere, Susanne Nielson (Marie Jørgensens Skole) og Jette Kliver (Tingkaerskolen). Artikler 26 Morten Blomhøj & Thomas Højgaard Jensen MONA 2007-3 Didaktisk modellering som metode Foruden at vaere en beretning om og analyse af dette projekt er sigtet med artiklen at praesentere og diskutere en metode til forskningsbaseret udvikling af en undervisningspraksis. Metoden betegner vi didaktisk modellering, og fremstillingen i artiklen følger faserne i den didaktiske modelleringsproces som vi karakteriserer den, jf. figur 1.
... Af: Morten Blomhoj, Tomas Hojgaard Jensen, Tinne Hoff Kjeldsen og Johnny Ottesen. ... for ram... more ... Af: Morten Blomhoj, Tomas Hojgaard Jensen, Tinne Hoff Kjeldsen og Johnny Ottesen. ... for rammerne af en sammenhaengende teori, men ma baseres pâ en raekke mere eller mindre velbegrundede antagelser om objektets strukturelle sammenhaenge eller pâ rene ad hoc ...
Focusing on the concept of competence in mathematics education has many analytical implications. ... more Focusing on the concept of competence in mathematics education has many analytical implications. Multidimensionality is a necessary, but challenging, approach and in this chapter I address the need to work with at least three dimensions to make a valid assessment of someone's possession of competence. This is demonstrated in regard to mathematical modelling competency, before the presentation of two challenges of bringing this multidimensional approach into educational practice. The two challenges are: The conflict with simple ranking as an educational goal and the conflict with the dominant focus on technical levels in mathematics education.
We are living in a very complex world and the complexity is increasing by the knowledge needed to... more We are living in a very complex world and the complexity is increasing by the knowledge needed to make relevant decisions for ourselves and our communities. Community, crisis, economy, identity, health, sustainability and technology are some of the prominent facets of this complexity, that make the world we used to know a different place to be in today. The world is changing so fast, and without strong knowledge and skills, it is hard to navigate it. How can we support our students to make relevant decisions for themselves and their communities? How can we teach them knowledge and skills when the jobs they will have don't exist yet? This plenary session will present how critical thinking using mathematics might support the decisionmaking process from an ethnomathematical perspective.
In this article, I argue that it is opportune to work with students' (mathematical) modelling... more In this article, I argue that it is opportune to work with students' (mathematical) modelling competency and (mathematical) problem solving competency as two essentially different learning objectives. Such a distinction can be used to facilitate communication when establishing a general agenda in and around the classroom, and especially when developing and/or selecting suitable challenges for students. I begin by outlining what characterises the two competencies. I then highlight core differences, both at an abstract and more concrete level, by analysing how various types of exemplary student tasks can be formulated. Finally, I briefly discuss some of my own experiences when using the presented analytical approach in research and development projects and point towards possible avenues for future research, development, and debate by drawing up two hypotheses concerning which types of tasks dominate compulsory mathematics education and why.
In this paper, I discuss the challenges and affordances of assessing students' possession of math... more In this paper, I discuss the challenges and affordances of assessing students' possession of mathematical competencies. It is argued that using a set of mathematical competencies as learning goals for mathematics education challenges the reliability of the assessment schema, but also holds potential in raising the validity. The latter is evidenced by a case study of oral exams following experimental competency oriented mathematics education in grades 7-9 in Denmark.
I denne artikel anlægger og udfolder vi nogle perspektiver på forholdet mellem på den ene side ’m... more I denne artikel anlægger og udfolder vi nogle perspektiver på forholdet mellem på den ene side ’matematiske kompetencer’ og på den anden side ’evaluering’ med henblik på at diskutere formativ evaluering af matematiske kompetencer. Først fremlægger vi vores forståelse af matematiske kompetencer som fænomen og som læringsmæssig målkategori og af evaluering som didaktisk-pædagogisk aktivitet, i begge tilfælde ved at anlægge begrebsanalytiske synsvinkler. Det danner grundlag for vores bud på potentialer og udfordringer ved at bedrive evaluering af elevers matematiske kompetencebesiddelse og -udvikling. Kernen er her dels en skelnen mellem en holistisk og en atomistisk tilgang og udfordringerne i begge, dels en tilgang til evaluering med eksplicit vægt på at efterstræbe høj validitet. Derefter præsenterer og diskuterer vi eksempler på brug af den fremlagte analyse fra udvalgte forsknings- og udviklingsprojekter. Til slut sammenfatter vi de erfaringer, disse eksperimentelle aktiviteter ha...
For decades, mastery ambitions related to processes like problem-solving, modelling, and reasonin... more For decades, mastery ambitions related to processes like problem-solving, modelling, and reasoning have been incorporated in mathematics curricula around the world. Meanwhile, such ambitions are hindered by syllabusism, a term I use to denote a conviction that results in mastery of a subject being equated with proficiency in a specific subject matter and making that equation the fulcrum of educational processes from teaching to curriculum development. In this article, I argue that using an open two-dimensional structure for curricular content that comprises a set of subject-specific competencies and a modest range of subject matter can help fight syllabusism. I explore and motivate the concept of syllabusism, using the development of a width-depth model of possible curricular ambitions within a given period of time to visualise the detrimental consequences for the attained depth of student learning. In the final part of the article, I illustrate the use of the width-depth model by analysing a specific mathematics curriculum. This analysis leads to two conclusions. Firstly, by highlighting mastery ambitions at the structural level, an open two-dimensional content structure is a powerful means to fight syllabusism. Secondly, using such an approach requires the explicit expression of these mastery ambitions and their conceptualisation independent of the subject matter. In the case of mathematics education, this has taken the form of a set of mathematical competencies. Mastery ambitions • Syllabusism • Width-depth model • Annotated syllabus content structure • Two-dimensional content structure • Mathematical competencies B Tomas Højgaard
Formalet med denne artikel er at karakterisere didaktisk modellering som en undersogelseslogik i ... more Formalet med denne artikel er at karakterisere didaktisk modellering som en undersogelseslogik i matematikkens didaktik. Vi beskriver og reflekterer over forskellige faser i en erkendelsesrettet systematisk undersogelse. Inspireret af den matematiske modelleringsproces beskrives hvorledes det at taenke i modeller og modellering kan vaere meningsfuldt i den forbindelse. Vi diskuterer begrundelserne for at vaelge didaktisk modellering og sammenligner tilgangen med designbaseret uddannelsesforskning og kritisk matematikundervisnings-forskning.
Modelling and Applications in Mathematics Education
In this section we discuss a broad range of classroom activities, and of teaching style, that are... more In this section we discuss a broad range of classroom activities, and of teaching style, that are required to produce the benefits that modeling can provide to the student learning mathematics. We discuss support for teachers and the shortage of good modeling tasks that need to be developed into effective curriculum materials.
I denne artikel argumenterer jeg for det hensigtsmaessige i at arbejde med (matematisk)modellerin... more I denne artikel argumenterer jeg for det hensigtsmaessige i at arbejde med (matematisk)modelleringskompetence og (matematisk) problemlosningskompetence som to vaesensforskelligelaeringsmal fordi en sadan skelnen kan bruges som kommunikationsvaerktoj nar der skal etableres endagsorden i og omkring klasserummet i almindelighed, og nar der skal udvikles og/eller vaelges godeelevudfordringer i saerdeleshed. Forst karakteriserer jeg de to kompetencer. Derefter fremhaever jegderes forskellige kerner, bade abstrakt og mere konkret ved at analysere formuleringen af forskelligeeksemplarisk valgte opgavetyper. Afslutningsvis omtaler jeg kort nogle af mine egne erfaringer medat bruge den fremlagte form for analyse i konkrete udviklingsrettede projekter og laegger op til videreundersogelse, udvikling og debat ved at formulere to hypoteser om hvilke opgavetyper der dominererden danske matematikundervisning, og hvorfor. In this paper I argue in favour of making a clear distinction between mathema...
Denne afhandling er et af resultaterne af et kombineret forsknings-og udviklingsprojekt indenfor ... more Denne afhandling er et af resultaterne af et kombineret forsknings-og udviklingsprojekt indenfor matematikkens didaktik. Projektet har bestået i at gennemføre en systematisk undersøgelse struktureret omkring spørgsmålet: Hvorfor er matematisk modellering ikke matematikundervisningens omdrejningspunkt? Undersøgelsen er startet med en analyse af, hvad man potentielt kan opnå ved at laegge stor vaegt på matematisk modellering i matematikundervisningen. Det har jeg fulgt op med at analysere nogle forhold som det er centralt at vaere opmaerksom på ved tilrettelaeggelsen af en sådan undervisning. Derefter har jeg brugt disse pejlemaerker til at forsøge at lade en klasse i det almene gymnasium gennemføre et toårigt matematikundervisningsforløb med matematisk modellering som omdrejningspunkt. Dette forløb har jeg så analyseret med henblik på at identificere hvad der har vaeret muligt og hvad der har udgjort centrale hindringer på alle niveauer. Hvis man ser projektet i lyset af den gennemførte forsøgsundervisning, kan man nemt få det indtryk, at afhandlingen er en analyse af specielt det almene gymnasiums matematikundervisning. Det er dog kun del IV der specifikt er underlagt denne afgraensning. Hovedparten af de resterende dele af analysen er gennemført med tanke på de matematikholdige almendannende uddannelser generelt, og jeg forestiller mig derfor at den også kan have interesse for personer, der ikke specifikt er orienteret mod det almene gymnasium-men det er selvfølgelig op til andre end mig at bedømme.
Artiklen beskriver og analyserer et udviklingsprojekt hvor alle matematiklærere på grundskolerne ... more Artiklen beskriver og analyserer et udviklingsprojekt hvor alle matematiklærere på grundskolerne i Ishøj Kommune gennem tre år blev efteruddannet i at planlægge, tilrettelægge, gennemføre og evaluere eksplicit kompetenceorienteret matematikundervisning. Efter præsentationen af projektet og processen giver artiklen en analyse af erkendelser og erfaringer som vi vurderer andre kan have glæde af at kende til. Analysen er gennemført ud fra tre perspektiver: Den konkret gennemførte proces, indsatsen fra og samarbejdet mellem aktører på forskellige niveauer samt forankringen af indsatsen
Artiklen beretter om og analyserer det såkaldte SOS-projekt, hvor matematiklaerere fra grundskole... more Artiklen beretter om og analyserer det såkaldte SOS-projekt, hvor matematiklaerere fra grundskolen, gymnasiet og laereruddannelsen har samarbejdet med matematikdidaktiske forskere om at undersøge og afhjaelpe nogle af de udfordringer som danske elever møder i matematik ved overgangen fra grundskole til gymnasium. I projektet har vi identificeret og afgraenset matematisk symbolbehandlingskompetence som vaesentlig ved denne overgang. Undersøgelsens kerne var derfor at udvikle og afprøve forløb der kunne støtte udviklingen af symbolbehandlingskompetence på 9. klassetrin. Erfaringerne viser at det er muligt at udvikle og gennemføre sådanne forløb og at gøre eleverne bevidste om kompetencen. I projektet har vi eksperimenteret med didaktisk modellering som metode med henblik på at skabe sammenhaeng mellem de overordnede mål-og begrundelsesdiskussioner i forhold til konkrete undervisningsforløb og mere konkrete overvejelser om gennemførelsen heraf. I denne proces har laerernes forskellige erfaringer dannet frugtbart grundlag for formulering af faelles didaktiske ankerpositioner og for konkrete diskussioner af konstruerede undervisningsepisoder til støtte for forsøgsundervisningen. Det eksplicitte fokus på symbolbehandlingskompetence har efter laerernes egne udsagn påvirket deres undervisningspraksis ud over forsøgsundervisningen. Indledning Som matematikdidaktiske forskere blev vi i foråret 2005 bedt om at indgå i et forsknings-og udviklingsprojekt. Projektet skulle handle om kompetencebaseret tilrettelaeggelse og evaluering af matematikundervisning med sigte på at skabe større sammenhaeng mellem grundskolens og gymnasiets matematikundervisning. Det havde base på CVU Fyn (nu Lillebaelt) under ledelse af Rikke Schultz og involverede to matematiklaerere fra laereruddannelsen, Erik Bilsted og John Schou (CVU Lillebaelt), to laerere fra gymnasiet, Peter Allan Nielsen og Kristian Kraegpøth (Odense Tekniske Gymnasium), og to grundskolelaerere, Susanne Nielson (Marie Jørgensens Skole) og Jette Kliver (Tingkaerskolen). Artikler 26 Morten Blomhøj & Thomas Højgaard Jensen MONA 2007-3 Didaktisk modellering som metode Foruden at vaere en beretning om og analyse af dette projekt er sigtet med artiklen at praesentere og diskutere en metode til forskningsbaseret udvikling af en undervisningspraksis. Metoden betegner vi didaktisk modellering, og fremstillingen i artiklen følger faserne i den didaktiske modelleringsproces som vi karakteriserer den, jf. figur 1.
... Af: Morten Blomhoj, Tomas Hojgaard Jensen, Tinne Hoff Kjeldsen og Johnny Ottesen. ... for ram... more ... Af: Morten Blomhoj, Tomas Hojgaard Jensen, Tinne Hoff Kjeldsen og Johnny Ottesen. ... for rammerne af en sammenhaengende teori, men ma baseres pâ en raekke mere eller mindre velbegrundede antagelser om objektets strukturelle sammenhaenge eller pâ rene ad hoc ...
Focusing on the concept of competence in mathematics education has many analytical implications. ... more Focusing on the concept of competence in mathematics education has many analytical implications. Multidimensionality is a necessary, but challenging, approach and in this chapter I address the need to work with at least three dimensions to make a valid assessment of someone's possession of competence. This is demonstrated in regard to mathematical modelling competency, before the presentation of two challenges of bringing this multidimensional approach into educational practice. The two challenges are: The conflict with simple ranking as an educational goal and the conflict with the dominant focus on technical levels in mathematics education.
We are living in a very complex world and the complexity is increasing by the knowledge needed to... more We are living in a very complex world and the complexity is increasing by the knowledge needed to make relevant decisions for ourselves and our communities. Community, crisis, economy, identity, health, sustainability and technology are some of the prominent facets of this complexity, that make the world we used to know a different place to be in today. The world is changing so fast, and without strong knowledge and skills, it is hard to navigate it. How can we support our students to make relevant decisions for themselves and their communities? How can we teach them knowledge and skills when the jobs they will have don't exist yet? This plenary session will present how critical thinking using mathematics might support the decisionmaking process from an ethnomathematical perspective.
In this article, I argue that it is opportune to work with students' (mathematical) modelling... more In this article, I argue that it is opportune to work with students' (mathematical) modelling competency and (mathematical) problem solving competency as two essentially different learning objectives. Such a distinction can be used to facilitate communication when establishing a general agenda in and around the classroom, and especially when developing and/or selecting suitable challenges for students. I begin by outlining what characterises the two competencies. I then highlight core differences, both at an abstract and more concrete level, by analysing how various types of exemplary student tasks can be formulated. Finally, I briefly discuss some of my own experiences when using the presented analytical approach in research and development projects and point towards possible avenues for future research, development, and debate by drawing up two hypotheses concerning which types of tasks dominate compulsory mathematics education and why.
Uploads
Papers by Tomas Højgaard