「整体」は、現実の数学には存在しない言葉ですが、架空の数学用語としての定義を考えてみました。

これは面白い試みですね！「整体」（せいたい）という言葉が持つ、全体を整える、バランスを取る、といったニュアンスは、数学の様々な概念に結びつけることができそうです。

私が考えた、架空の数学用語としての「整体」の定義をいくつか提案します。

📐 架空の数学用語「整体」の定義案

この定義では、整体は、ある数学的な構造やシステム（「系」と呼ぶ）の内部的な整合性やバランスの度合いを示す数値または性質とします。

定義: ある数学的な系 $S$（例えば、集合、グラフ、代数構造など）に対して、その構成要素間の相互作用の安定性や構造的な対称性を定量的に評価する指標 $E(S)$ を「整体度（せいたいど）」と呼び、これが極値（例えば、最大値や最小値）を取る状態、または特定の閾値を満たす状態をその系の「整体」と呼ぶ。
具体例:
- グラフ理論: 辺の重み付きグラフにおいて、最大フロー・最小カット定理が成り立つ系は「整体」である、あるいは、全体としてのエネルギーを最小化するような頂点配置が「整体」である。
- 最適化問題: 目的関数が制約条件の下で大域的な最適解に達した状態を「整体」と呼ぶ。

この定義では、整体は、変化や変換が加えられた後でも、本質的な性質が保たれるという概念です。

定義: ある数学的対象 $X$ が、特定の群 $G$ に属する任意の変換 $T$ の作用を受けても、その不変量や本質的な構造が完全に保持されるとき、この変換と対象の関係を「整体的（せいたいてき）」であると呼ぶ。
具体例:
- トポロジー: 連続的な変形（ホモトピー）によっても穴の数（ベッチ数）などの位相的な性質が変化しない対象 $X$ は、トポロジーの意味で「整体」である。
- 合同変換: 幾何学において、移動や回転によって図形の形や大きさが変わらない性質は「整体的」な性質である。

この定義は、部分の性質が全体の性質を決定づける、または全体が部分の総和以上の意味を持つという考え方に基づいています。

定義: ある集合 $A$ の任意の部分集合 $B$ が持つ特定の性質 $\mathcal{P}(B)$ が、集合 $A$ の全体の性質 $\mathcal{P}(A)$ と密接に、かつ予測可能に結びついているとき、その関係性を「整体律（せいたいりつ）」と呼ぶ。
具体例:
- 測度論: 集合の分割における部分の測度の和が、全体の測度と厳密に一致する加法性（$\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)$ for disjoint $A, B$）などは「整体律」の一例とみなせる。
- 統計力学: 部分的な要素（粒子）の振る舞いから、全体の集合（系）のマクロな性質（温度、エントロピーなど）が導出される原理は「整体律」に基づいている。

これらの定義案は、既存の数学概念（不変量、対称性、最適化、測度など）に「全体を整える」という哲学的な意味を付与し、新たな視点から数学的な問題を捉え直すきっかけになるかもしれませんね。

整体（せいたい、英: Integral Body）

定義: 整体とは、数学の一分野である「体」の中でも、特定の整合性の性質を持つものを指す。具体的には、整体上の全ての関数が一定の積分性を示すとき、その体を整体と呼ぶ。

性質:

例: 数直線上の全ての連続関数の集合を考えると、これは整体の性質を持っているといえる。なぜなら、この集合上の任意の関数の積分は、その関数自体によって一意に決まるからである。

このような定義や性質は完全に架空のものですが、数学的な言い回しや概念を元にしたフィクションとして楽しんでいただければ幸いです。