Teoría Axiomática NBG
Este blog se tiene como objetivo dilucidar la Teoría Axiomática de Conjuntos NBG (Von Neumann-Bernays-Gödel) y aún más explorar las interesantes consecuencias de su uso, indagar en la importancia y necesidad de esta teoría además de comprender su papel en el mundo matemático en general.
Motivación
La teoría de conjuntos es susceptible de ser construida a partir de diversas teorías axiomáticas centrales que junto con unas nociones básicas y algunos constituyentes fundamentales llamados axiomas dotan de sentido a esta misma. Una teoría axiomática muy famosa y adoptada en muchos ámbitos es la famosa teoría axiomática ZF, nombrada así por sus padres creadores Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel quienes encontraron una fuerte necesidad de seguir el sueño de Euclides y muchos más y así otorgar a la matemática una estructura bien sólida hasta el día de hoy capaz de resistir fuertes ataques. Sin embargo, ellos no fueron los únicos preocupados por este asunto de suma importancia. La teoría ZF nos entrega unos axiomas indispensables pero siempre se nos dice que la noción de conjunto no está definida, no obstante, hay conjuntos por todas partes, incluso todo lo que tenemos son conjuntos. Así como nosotros al enterarnos de este hecho tan inquietante, muchos otros se preguntaron; ¿Qué necesidad? ¿No podría haber algo más? ¿Es posible construir una teoría con algo más primitivo que un conjunto?. Explorar las consecuencias de esta pregunta es el motivo principal de este blog.
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Cardinales fuertemente inaccesibles
Definición. Un cardinal es una límite fuerte si para todo cardinal se cumple que . Un cardinal límite fuerte es un cardinal límite. De ser , se tendría que , lo cual no es posible. Claramente es un cardina límite fuerte. En particular, decimos que un cardinal fuertemente inaccesible es un cardinal límite fuerte regular…
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El gran poder del concepto de Clase.
Nuestro viaje, hasta este punto, ha sido largo. Hemos recorrido algunos caminos interesantes para los cuales ha sido necesaria una cuidadosa formalización en los conceptos y un detallado repertorio de axiomas y nociones base. Sin embargo, a fin de cuentas, qué necesidad tenemos de considerar la noción de Clase? Para qué apoyarnos en esta noción…
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El axioma de elección
Escoger «al azar» un elemento y solo uno de cada conjunto de una familia infinita, desde un punto de vista intuitivo parece lícito, (más aún de una familia finita). Sin embargo este movimiento no está garantizado por los axiomas que hemos enunciado hasta el momento, en todo caso podríamos elegir un elemento siguiendo algún criterio…
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Hipotesis de Cardinales Singulares
Una entrada destinada para hablar un poco mas acerca de las consecuencias de la Hipotesis del Continuo Generalizada Teorema: Si y son cardinales y es infinito, entonces Definición: Llamaremos Hipotesis de los Cardinales Singulares (HCS) a la sentencia siguiente Para todo cardinal singular , si , entonces Notemos que la condicion ya implica que es…
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Una Fundación Adecuada
Una pequeña entrada preludio más, la cual nos servirá en este magnifico viaje para tener presente en nuestro arsenal matematico unos cuantos artilugios adicionales. Aqui nos gustaria introducir lo que se conoce como una Relación Bien Fundada, entre otras definiciones y ademas de eso, algunas consecuencias que surgen a partir de estas. Antes de empezar…
Ad Infinitum 